मान लीजिए f: R to R एक फलन है जो f(x) = [x] c | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ है।हम किसी भी पूर्णांक $

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प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत

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(D) फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi ight) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} ight) = [x] \sin(x\pi)$ है।हम किसी भी पूर्णांक $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।$x = n$ पर फलन का मान $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।$x 	o n^-$ के लिए बायाँ सीमा $(LHL)$ $\lim_{x 	o n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ है।$x 	o n^+$ के लिए दायाँ सीमा $(RHL)$ $\lim_{x 	o n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर संतत है।$[x]$ पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह संतत है और $\sin(x\pi)$ हर जगह संतत है,इसलिए उनका गुणनफल हर जगह संतत है।अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

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यदि $f(x) = \cos \left[ \frac{\pi}{x} \right] \cos \left( \frac{\pi}{2} (x - 1) \right)$ है,तो $f(x)$ किस बिंदु पर सतत है? (जहाँ $[x]$,$x$ का महत्तम पूर्णांक फलन है)

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

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