यदि frac{dy}{dx} = frac{y^2}{xy - y^2 - x^2} | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ है।$y = mx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ प्राप्त ह

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$3$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ है।$y = mx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।$m + x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2 x^2}{x(mx) - m^2 x^2 - x^2} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1}$.$x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1} - m = \frac{m^2 - m^2 + m^3 + m}{m - m^2 - 1} = \frac{m^3 + m}{m - m^2 - 1}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{m - m^2 - 1}{m^3 + m} dm = \int \frac{dx}{x}$.$\int \left( \frac{m}{m(m^2 + 1)} - \frac{m^2 + 1}{m(m^2 + 1)} ight) dm = \ln|x| + C$.$\int \left( \frac{1}{m^2 + 1} - \frac{1}{m} ight) dm = \ln|x| + C$.$	an^{-1}(m) - \ln|m| = \ln|x| + C$.$m = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) - \ln\left|\frac{y}{x}ight| = \ln|x| + C$.$	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C$.$	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) = \ln|y| + C$.$	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) = f(y) + C$ से तुलना करने पर,$f(y) = \ln|y|$ प्राप्त होता है।अतः,$f(e^3) = \ln|e^3| = 3$.

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ का व्यापक हल $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ है,तो $f(e^3) = $

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