यदि R त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकत | vedclass

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Question

(A) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और उसके आधार की त्रिज्या $r$ है। गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले में अंतर्निहित शंकु की ज्यामिति से,हमें संबंध प्राप्त होत

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$8: 27$

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(A) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और उसके आधार की त्रिज्या $r$ है। गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले में अंतर्निहित शंकु की ज्यामिति से,हमें संबंध प्राप्त होता है $r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2hR - h^2$.शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$ है।अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2) = 0$.चूँकि $h 
eq 0$,हमें $4R - 3h = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $h = \frac{4R}{3}$ मिलता है।अतः,$k = \frac{4}{3}$.$h = \frac{4R}{3}$ पर शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (2R(\frac{4R}{3})^2 - (\frac{4R}{3})^3) = \frac{1}{3} \pi (\frac{32R^3}{9} - \frac{64R^3}{27}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{96R^3 - 64R^3}{27}) = \frac{32}{81} \pi R^3$ है।गोले का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।शंकु के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात $\frac{\frac{32}{81} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{32}{81} 	imes \frac{3}{4} = \frac{8}{27}$ है।

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