यदि रेखा x=alpha क्षेत्र R={(x, y) in mathbb{ | vedclass

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Question

(A) क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल इस प्रकार है:$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4

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$B, C$

Vedclass · Answer

(A) क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल इस प्रकार है:$A = \int_0^1 (x - x^3) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} ight]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.चूंकि रेखा $x = \alpha$ क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,इसलिए $0$ से $\alpha$ तक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए:$\int_0^{\alpha} (x - x^3) dx = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} ight]_0^{\alpha} = \frac{1}{8}$$\frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{4} = \frac{1}{8}$$4$ से गुणा करने पर:$2 \alpha^2 - \alpha^4 = \frac{1}{2}$$4 \alpha^2 - 2 \alpha^4 = 1$$2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0$. यह विकल्प $[C]$ की पुष्टि करता है.मान लीजिए $f(\alpha) = 2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1$. हमारे पास $f(0) = 1$ और $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$ है.चूंकि $f(\alpha)$ सतत है और $0$ से $1$ के बीच चिह्न बदलता है,इसलिए एक मूल $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है.साथ ही,$f(1/\sqrt{2}) = 2(1/4) - 4(1/2) + 1 = 0.5 - 2 + 1 = -0.5 चूंकि $f(0) = 1 > 0$ और $f(1/\sqrt{2}) चूंकि $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ और $1/2 = 0.5$,हम $f(1/2) = 2(1/16) - 4(1/4) + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8 > 0$ की जांच करते हैं.चूंकि $f(1/2) > 0$ और $f(1/\sqrt{2}) < 0$,मूल $\alpha$ अंतराल $(1/2, 1/\sqrt{2})$ में है,जो $(1/2, 1)$ का एक उपसमुच्चय है. अतः,विकल्प $[B]$ भी सत्य है.

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