यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{-3}=\frac{z-3}{\alpha}$ और $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $8 \alpha \beta$ के न्यूनतम मान का परिमाण $...............$ है।

समतलों $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j})+4=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+8=0$ के लंबवत समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i}+2 \hat{j}+12 \hat{k})=\mu$ है। तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(1, 2, -3)$, $(-1, -2, 1)$ से गुजरने वाले और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ के समानांतर समतल के अभिलंब के दिक अनुपात ज्ञात कीजिए।

माना $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में एक बिंदु है,जिसका समतल $x+y=3$ में प्रतिबिंब $Q$ (अर्थात,रेखाखंड $PQ$,समतल $x+y=3$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्य-बिंदु समतल $x+y=3$ पर स्थित है) $z$-अक्ष पर स्थित है। माना $x$-अक्ष से $P$ की दूरी $5$ है। यदि $R$,$xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब है,तो $PR$ की लंबाई है।

$m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$,समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है।

यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: