यदि रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

वृत्त $C_1$ और $C_2$,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ और $R$ हैं,चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। रेखा $l$,जो $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर है,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है और $C_2$ को $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $R^2=2r^2$ है,तो $\angle AOB$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(3, 1)$ और $Q(6, 5)$ एक तीसरे बिंदु $R(x, y)$ के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं,जिसका क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है और $\angle PRQ = \frac{\pi}{2}$ है,तो बिंदु $R$ के लिए संभावित स्थितियों की संख्या क्या है?

वृत्त $x^2+y^2=4$ पर स्थित वह बिंदु जिसकी रेखा $4x+3y-12=0$ से दूरी $4/5$ इकाई है,वह है

$1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ में अंतर्निहित है। $C$ के भुजाओं $PQ, QR, RP$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $D, E, F$ हैं। रेखा $PQ$ का समीकरण $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ है और बिंदु $D$ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है। इसके अलावा,यह दिया गया है कि मूल बिंदु और $C$ का केंद्र रेखा $PQ$ के एक ही तरफ हैं।
$1.$ वृत्त $C$ का समीकरण है
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ बिंदु $E$ और $F$ हैं
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ भुजाओं $QR, RP$ के समीकरण हैं
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

रेखा $2x + y = 4$, $X$ और $Y$ अक्षों को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। मान लीजिए $C(p, q)$ एक ऐसा बिंदु है कि रेखाएँ $AC$ और $BC$ लंबवत हैं। बिंदु $C$ की रेखाखंड $AB$ के मध्य-बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।