यदि रेखाएँ frac{x-1}{2}=frac{y+1}{k}=frac{z}{ | vedclass

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Question

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ द्वारा दी गई हैं।चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,श

Vedclass · Accepted Answer

$y \pm z + 1 = 0$

Vedclass · Answer

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ द्वारा दी गई हैं।चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 0)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -1, 0)$ है।अतः,$\begin{vmatrix} -1-1 & -1-(-1) & 0-0 \ 2 & k & 2 \ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \ 2 & k & 2 \ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$ है।प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2(k^2 - 4) = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$ है।स्थिति $1$: यदि $k=2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 2 & 2 \ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।स्थिति $2$: यदि $k=-2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -2 & 2 \ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।दोनों को मिलाने पर,समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ समतलीय हैं,तो इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण क्या है?

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