જો રેખાઓ $L_1: x = -1 + s, y = 3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ અને $L_2: x = \frac{t}{2}, y = 1 + t, z = 2 - t$ જ્યાં $s$ અને $t$ પ્રચલિત (parameters) છે, તે સમતલીય (coplanar) હોય, તો $\lambda =$ ?

સ્થાન સદિશ $\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k}$ ધરાવતા બિંદુનું,બિંદુ $(2, -3, -4)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $6 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાથી અંતર કેટલા એકમ છે?

રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}$ અને સમતલ $2x-2y+z=5$ વચ્ચેના ખૂણાનો સાઈન (sine) શોધો.

ધારો કે $L_1$ એ $2x+3y+z=4$ અને $x+2y+z=5$ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલા સમતલોની છેદરેખા છે. ધારો કે $L_2$ એ બિંદુ $P(2,-1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને સમાંતર રેખા છે. ધારો કે $M$ એ $2x+y-2z=6$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સમતલ છે. ધારો કે રેખા $L_2$ એ સમતલ $M$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. ધારો કે $R$ એ $P$ માંથી સમતલ $M$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $9\sqrt{3}$ છે
$(B)$ રેખાખંડ $QR$ ની લંબાઈ $15$ છે
$(C)$ $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ છે
$(D)$ રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ છે

ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(1, 2, 1)$ નું સમતલ $x + 2y + 2z = 16$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે. ધારો કે $T$ એ બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતું અને રેખા $\vec{r} = -\hat{k} + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ ને સમાવતું સમતલ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $T$ પર આવેલું છે?

બિંદુ $O(\vec{0})$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ થી સદિશ $2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ ને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું છે?