જો પરવલય $y^2 = 4ax$ એ બિંદુ $(-3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $(x, y)$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $P$ એવું બિંદુ છે જે $(0, 0)$ થી $(x, y)$ સુધીના રેખાખંડને $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

$(0,3)$ થી પરવલય $y^2=4x$ નું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

વિધાન $1$: $y = mx - \frac{1}{m}$ એ તમામ શૂન્યતર $m$ ની કિંમતો માટે પરવલય $y^2 = -4x$ નો સ્પર્શક છે.
વિધાન $2$: પરવલય $y^2 = -4x$ નો દરેક સ્પર્શક તેના અક્ષને એવા બિંદુએ મળે છે જેનો $x$-યામ (abscissa) અઋણ હોય.

ધારો કે $P$ એ સમતલમાં $y = x^2$ સમીકરણ દ્વારા નિર્ધારિત પરવલય છે. ધારો કે સમતલમાં એક વર્તુળ $C$ એ $P$ ને ચાર ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે. જો આમાંથી ત્રણ બિંદુઓ $(17, 289), (-2, 4), (13, 169)$ હોય,તો $P$ ની નિયામિકા (directrix) થી ચારેય છેદબિંદુઓના લંબ અંતરનો સરવાળો કેટલો થાય?

વિધાન $-1:$ રેખા $x - 2y = 2$ એ પરવલય $y^2 + 2x = 0$ ને માત્ર $(-2, -2)$ બિંદુએ મળે છે.
વિધાન $-2:$ રેખા $y = mx - \frac{1}{2m}$ $(m \neq 0)$ એ પરવલય $y^2 = -2x$ ને $\left( -\frac{1}{2m^2}, -\frac{1}{m} \right)$ બિંદુએ સ્પર્શક છે.