यदि समतल 2x + y - 5z = 0 को समतल 3x - y + 4z | vedclass

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Question

(C) समतलों $P_1: 2x + y - 5z = 0$ और $P_2: 3x - y + 4z - 7 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वा

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$(1, 0, 2)$

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(C) समतलों $P_1: 2x + y - 5z = 0$ और $P_2: 3x - y + 4z - 7 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(2x + y - 5z) + \lambda(3x - y + 4z - 7) = 0$$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + 4\lambda)z - 7\lambda = 0$ --- (समीकरण $1$)चूंकि समतल को मूल समतल $2x + y - 5z = 0$ से $\frac{\pi}{2}$ के कोण पर घुमाया गया है,इसलिए इन दो समतलों के अभिलंब सदिश परस्पर लंब होने चाहिए।मूल समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, 1, -5)$ है।नए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (2 + 3\lambda, 1 - \lambda, -5 + 4\lambda)$ है।$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ होने के कारण:$2(2 + 3\lambda) + 1(1 - \lambda) - 5(-5 + 4\lambda) = 0$$4 + 6\lambda + 1 - \lambda + 25 - 20\lambda = 0$$30 - 15\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.$\lambda = 2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:$(2 + 3(2))x + (1 - 2)y + (-5 + 4(2))z - 7(2) = 0$$8x - y + 3z - 14 = 0$.यह समतल बिंदु $(1, 0, 2)$ से होकर गुजरता है क्योंकि $8(1) - 0 + 3(2) = 8 + 6 = 14$।

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