lambda का वह मान जिसके लिए सरल रेखा frac{x-la | vedclass

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Question

(D) एक रेखा $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ के समतल $Ax+By+Cz=D$ पर स्थित होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:

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ऐसा कोई $\lambda$ नहीं है

Vedclass · Answer

(D) एक रेखा $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ के समतल $Ax+By+Cz=D$ पर स्थित होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$(i)$ रेखा समतल के अभिलंब के लंबवत होनी चाहिए: $a_{1}A+b_{1}B+c_{1}C=0$.
(ii) रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए: $Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=D$.
दी गई रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$ और समतल $x-2y+0z=0$ के लिए:
शर्त $(i)$: $3(1) + (2+\lambda)(-2) + (-1)(0) = 0$
$3 - 4 - 2\lambda = 0 \Rightarrow -1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
शर्त (ii): बिंदु $(\lambda, 1, 3)$ को समतल $x-2y=0$ पर स्थित होना चाहिए।
बिंदु प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda - 2(1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
चूंकि दोनों शर्तें $\lambda$ के लिए अलग-अलग मान देती हैं ($\lambda = -\frac{1}{2}$ और $\lambda = 2$), इसलिए ऐसा कोई $\lambda$ नहीं है जिसके लिए रेखा समतल पर स्थित हो।

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए सरल रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$, समतल $x-2y=0$ पर स्थित हो, है

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बिंदु $(3, 4, 5)$ की रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2}$ और समतल $x+y+z=2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी क्या है ($\text{इकाई}$ में)?

बिंदु $-\hat{i} - 5\hat{j} - 10\hat{k}$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

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मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $2x - 3y - 6z = 49$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक हैं

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