यदि सीधी रेखाएँ frac{x-1}{2}=frac{y+1}{k}=fra | vedclass

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Question

(B) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[\v

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$(B, C)$

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(B) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}, \vec{d}] = 0$.दिए गए बिंदु $\vec{a} = (1, -1, 0)$ और $\vec{c} = (-1, -1, 0)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}-\vec{c} = (2, 0, 0)$ है।दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + k\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + k\hat{k}$ हैं।सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:$\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \ 2 & k & 2 \ 5 & 2 & k \end{array}ight| = 0 \Rightarrow 2(k^2 - 4) = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.स्थिति $1$: यदि $k = 2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, 2)$ हैं।अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \vec{b} 	imes \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 2 & 2 \ 5 & 2 & 2 \end{array}ight| = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है।समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_1 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \Rightarrow y - z = -1$ प्राप्त होता है।स्थिति $2$: यदि $k = -2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, -2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, -2)$ हैं।अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = \vec{b} 	imes \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -2 & 2 \ 5 & 2 & -2 \end{array}ight| = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है।समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_2 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \Rightarrow y + z = -1$ प्राप्त होता है।अतः,समतल $y-z=-1$ और $y+z=-1$ हैं,जो विकल्पों $(C)$ और $(B)$ के अनुरूप हैं।

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वह बिंदु जिस पर बिंदुओं $(2, -3, 1)$ और $(3, -4, -5)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल $2x + y + z = 7$ को काटती है,वह है:

रेखा $\bar{r} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ और समतल $\bar{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समतल $r \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})=7$ की मूल बिंदु से दूरी, जो रेखा $r=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+t(6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ के समांतर मापी गई है, क्या है?

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