यदि बिंदु (2, 0), (0, 1), (4, 5) और (0, c) एक | vedclass

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Question

(C) माना कि $(2, 0), (0, 1)$ और $(4, 5)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ है। बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(2, 0)$

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$ \frac{14}{3}, 1 $

Vedclass · Answer

(C) माना कि $(2, 0), (0, 1)$ और $(4, 5)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ है। बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(2, 0)$ के लिए: $4 + 4g + k = 0 \Rightarrow 4g + k = -4$ $(0, 1)$ के लिए: $1 + 2f + k = 0 \Rightarrow 2f + k = -1$ $(4, 5)$ के लिए: $16 + 25 + 8g + 10f + k = 0 \Rightarrow 8g + 10f + k = -41$ इन समीकरणों को हल करने पर: $k = -4 - 4g$ $2f = -1 - k = -1 - (-4 - 4g) = 3 + 4g \Rightarrow f = \frac{3}{2} + 2g$ तीसरे समीकरण में मान रखने पर: $8g + 10(\frac{3}{2} + 2g) + (-4 - 4g) = -41$ $8g + 15 + 20g - 4 - 4g = -41$ $\Rightarrow 24g = -52$ $\Rightarrow g = -\frac{13}{6}$ अतः $k = -4 - 4(-\frac{13}{6}) = -4 + \frac{26}{3} = \frac{14}{3}$ और $f = \frac{3}{2} + 2(-\frac{13}{6}) = \frac{9-26}{6} = -\frac{17}{6}$ वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - \frac{13}{3}x - \frac{17}{3}y + \frac{14}{3} = 0$ है। चूँकि $(0, c)$ वृत्त पर स्थित है: $0^2 + c^2 - \frac{13}{3}(0) - \frac{17}{3}c + \frac{14}{3} = 0$ $3c^2 - 17c + 14 = 0$ $(3c - 14)(c - 1) = 0$ अतः,$c = \frac{14}{3}$ या $c = 1$.

यदि बिंदु $(2, 0), (0, 1), (4, 5)$ और $(0, c)$ एक ही वृत्त पर स्थित हैं (concyclic),तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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