यदि वास्तविक रेखाओं का युग्म L_1 : ax^2 + 2hx | vedclass

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Question

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ कोण समद्विभाजकों के युग्म को निरूपित करता है,जो हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। इसलिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग

Vedclass · Accepted Answer

$L_1$ द्वारा दिया गया रेखाओं का युग्म $lx^2 + 2mxy + ny^2 = 0$ का कोण समद्विभाजक है,$\forall \ l, m, n \in \mathbb{R}$ के लिए।

Vedclass · Answer

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ कोण समद्विभाजकों के युग्म को निरूपित करता है,जो हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। इसलिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$। चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह $L_2$ के समीकरण को संतुष्ट करता है। $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ में $(0, 0)$ रखने पर,हमें $F = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$a + b + F = 0 + 0 = 0$। सामान्य द्विघात समीकरण के रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए,सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए। यह शर्त लागू करने पर $BDE = AE^2 + CD^2$ संबंध प्राप्त होता है। विकल्प $D$ गलत है क्योंकि रेखाओं के कोण समद्विभाजक उन रेखाओं के विशिष्ट गुणांकों पर निर्भर करते हैं,न कि किसी भी $l, m, n$ पर।

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