यदि रेखाओं का युग्म ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx | vedclass

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Question

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के साप

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$2fgh = bg^2 + ch^2$

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(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + 2hy + 2g = 0 \implies ax + hy + g = 0$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 2hx + 2by + 2f = 0 \implies hx + by + f = 0$ चूंकि रेखाएं $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $x = 0$ है। $x = 0$ को पहले आंशिक अवकलन समीकरण में रखने पर: $h(y) + g = 0 \implies y = -g/h$। अब,$(0, -g/h)$ को मूल समीकरण $f(x, y) = 0$ में रखने पर: $a(0)^2 + 2h(0)(-g/h) + b(-g/h)^2 + 2g(0) + 2f(-g/h) + c = 0$ $b(g^2/h^2) - 2fg/h + c = 0$ $h^2$ से गुणा करने पर,हमें $bg^2 - 2fgh + ch^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $bg^2 + ch^2 = 2fgh$ हो जाता है।

यदि रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है,तो:

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