यदि $x^{3}+2 x^{2}+k x+3$ को $x-3$ से विभाजित करने पर शेषफल $21$ प्राप्त होता है,तो भागफल और $k$ का मान ज्ञात कीजिए। अतः,त्रिघात बहुपद $x^{3}+2 x^{2}+k x-18$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

(A) माना $p(x) = x^{3}+2 x^{2}+k x+3$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,चूंकि $p(x)$ को $x-3$ से विभाजित किया जाता है,शेषफल $p(3)$ है।
दिया है $p(3) = 21$,अतः:
$3^{3}+2(3)^{2}+k(3)+3 = 21$
$27 + 18 + 3k + 3 = 21$
$48 + 3k = 21$
$3k = 21 - 48 = -27$
$k = -9$.
अब,$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3$ को $x-3$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3 = (x-3)(x^{2}+5x+6) + 21$.
भागफल $x^{2}+5x+6$ है।
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,इसका गुणनखंड करते हैं:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 = x^{2}(x+2) - 9(x+2)$
$= (x^{2}-9)(x+2)$
$= (x-3)(x+3)(x+2)$.
बहुपद को $0$ के बराबर रखने पर,शून्यक $x = 3, -3, -2$ प्राप्त होते हैं।