यदि किसी बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा की ढाल $-y+e^{-x}$ के बराबर है,तो मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण क्या है?

मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है:

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = f(x)$ का हल है,जहाँ $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in [0, 1] \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है। यदि $y(0) = 0$ है,तो $y\left(\frac{3}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin x$ रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P$ है

यदि $y = y(x)$,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ अवकल समीकरण $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 2 \sin 4x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ का हल वक्र है,और $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{-\pi}$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)