यदि अवकल समीकरण (1+y^2)(1+log_e x) dx + x dy | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ प्राप्त होता

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$।इसका सरलीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + 	an^{-1} y = C$ है।चूंकि वक्र $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + 	an^{-1}(1) = C$,जिससे $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = \frac{\pi}{4}$।वक्र का समीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ है।$x=e$ के लिए,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{1}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$।अतः,$	an^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,इसलिए $y = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{	an(\pi/4) - 	an(3/2)}{1 + 	an(\pi/4)	an(3/2)} = \frac{1 - 	an(3/2)}{1 + 	an(3/2)}$।इसकी तुलना $y(e) = \frac{\alpha - 	an(3/2)}{\beta + 	an(3/2)}$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$।

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