यदि रेखाएँ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ और $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$,जहाँ $s$ और $t$ क्रमशः प्राचल हैं,समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2 \hat{j}$ और $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः समतल $x+y+z=3$ पर $A$ और $B$ के लंबकोणीय प्रक्षेप हैं, तो $P Q=$

बिंदु $(2, 3, -5)$ की समतल $x + 2y - 2z = 9$ से दूरी है

बिंदु $P$,बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $5x - 4y - z = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर डाले गए लंब का पाद $S$ है,तो रेखाखंड $PS$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

अतलीय सदिशों $a, b$ और $c$ के लिए, यदि रेखा $r=a+t(b-c)$ और समतल $r=b+c+x(a-b)+y(c+a)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $l a+m b+n c$ है, तो $3 l+4 m+2 n=$