R^3 में,समतलों P_1: y=0 और P_2: x+z=1 पर विचा | vedclass

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Question

(C) $P_1: y=0$ और $P_2: x+z-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+z-1) + \lambda y = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x + \lambda y

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$(B, D)$

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(C) $P_1: y=0$ और $P_2: x+z-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+z-1) + \lambda y = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x + \lambda y + z - 1 = 0$ के रूप में सरल होता है।इस समतल से बिंदु $(0, 1, 0)$ की दूरी $1$ दी गई है:$\frac{|0 + \lambda(1) + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + \lambda^2 + 1^2}} = 1$$\frac{|\lambda - 1|}{\sqrt{\lambda^2 + 2}} = 1$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda - 1)^2 = \lambda^2 + 2$$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = \lambda^2 + 2$$-2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.समतल समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर:$x - \frac{1}{2}y + z - 1 = 0 \Rightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0$.अब,बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $2x - y + 2z - 2 = 0$ से दूरी $2$ है:$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = 2$$\frac{|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2|}{3} = 2$$|2\alpha - \beta + 2\gamma - 2| = 6$.यह दो संभावनाएं देता है:$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = 6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma - 8 = 0$$2\alpha - \beta + 2\gamma - 2 = -6 \Rightarrow 2\alpha - \beta + 2\gamma + 4 = 0$.अतः,विकल्प $(B)$ और $(D)$ सही हैं।

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$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $x - 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 10$ के बीच का कोण $\theta$ है

समतलों $x + 2y = 3$ और $y - 2z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और प्रथम समतल $x + 2y = 3$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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