समतलों overrightarrow{r} cdot (hat{i} + hat{j | vedclass

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Question

(C) दो समतलों $P_1: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} = d_1$ और $P_2: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} = d_2$ के प्रतिच्छेदन

Vedclass · Accepted Answer

$\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 7$

Vedclass · Answer

(C) दो समतलों $P_1: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} = d_1$ और $P_2: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} - d_1) + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} - d_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए समतल $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 = 0$ और $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2 = 0$ हैं।आवश्यक समतल का समीकरण $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2) = 0$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$ प्राप्त होता है।चूंकि समतल बिंदु $(1, 0, 2)$ से गुजरता है,स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 2\hat{k}$ है।इसे समीकरण में रखने पर: $(\hat{i} + 2\hat{k}) \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$.$(1 + \lambda) + 2(1) = 1 - 2\lambda$.$3 + \lambda = 1 - 2\lambda$.$3\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{2}{3}$.$\lambda = -\frac{2}{3}$ को समीकरण में रखने पर: $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 - \frac{2}{3}) + \hat{j}(1 + \frac{4}{3}) + \hat{k}(1)] = 1 - 2(-\frac{2}{3})$.$\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(\frac{1}{3}) + \hat{j}(\frac{7}{3}) + \hat{k}] = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.$3$ से गुणा करने पर,हमें $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 7$ प्राप्त होता है।

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