मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $\bar{i}-3 \bar{j}$ है और $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ एक रेखा है। यदि $P$ इस रेखा पर एक बिंदु है और समतल $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ से न्यूनतम दूरी पर है, तो $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि एक समतल $P$ बिंदु $A(3, 7, -7)$ से होकर गुजरता है और रेखा $L: \frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ को समाहित करता है। यदि मूल बिंदु से समतल $P$ की दूरी $d$ है, तो $d^2$ का मान है

समतलों $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ के प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर एक सदिश है

मान लीजिए $P_1: 2x + y - z = 3$ और $P_2: x + 2y + z = 2$ दो समतल हैं। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $1, -1, 1$ हैं।
$(B)$ रेखा $\frac{3x - 4}{9} = \frac{1 - 3y}{9} = \frac{z}{3}$,$P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है।
$(C)$ $P_1$ और $P_2$ के बीच का न्यून कोण $60^{\circ}$ है।
$(D)$ यदि $P_3$ बिंदु $(4, 2, -2)$ से गुजरने वाला और $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल है,तो बिंदु $(2, 1, 1)$ की समतल $P_3$ से दूरी $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

मान लीजिए कि एक रेखा $l$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $l_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ और $l_2: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ पर लंब है। यदि $P$,$l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,और $Q(\alpha, \beta, \gamma)$,$P$ से $l_2$ पर डाले गए लंब का पाद है,तो $9(\alpha + \beta + \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि समतल $P$,रेखा $2x+y-z-3=0=5x-3y+4z+9$ को समाहित करता है और रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{3-y}{-4}=\frac{z-7}{5}$ के समानांतर है। तब बिंदु $A(8,-1,-19)$ की समतल $P$ से रेखा $\frac{x}{-3}=\frac{y-5}{4}=\frac{2-z}{-12}$ के समानांतर मापी गई दूरी $............$ के बराबर है।