मान लीजिए कि समतल P,रेखा 2x+y-z-3=0=5x-3y+4z+ | vedclass

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Question

(A) रेखा $2x+y-z-3=0$ और $5x-3y+4z+9=0$ से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ है।इसे सरल करने पर $(2+5\lamb

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$26$

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(A) रेखा $2x+y-z-3=0$ और $5x-3y+4z+9=0$ से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ है।इसे सरल करने पर $(2+5\lambda)x + (1-3\lambda)y + (-1+4\lambda)z + (9\lambda-3) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि यह समतल दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 4, 5)$ वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2+5\lambda, 1-3\lambda, -1+4\lambda)$,$\vec{b}$ के लंबवत होना चाहिए।अतः,$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2(2+5\lambda) + 4(1-3\lambda) + 5(-1+4\lambda) = 0$.$4 + 10\lambda + 4 - 12\lambda - 5 + 20\lambda = 0 \implies 18\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$.$\lambda = -\frac{1}{6}$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2 - \frac{5}{6})x + (1 + \frac{3}{6})y + (-1 - \frac{4}{6})z + (-\frac{9}{6} - 3) = 0$.$6$ से गुणा करने पर: $(12-5)x + (6+3)y + (-6-4)z + (-9-18) = 0 \implies 7x + 9y - 10z - 27 = 0$.बिंदु $A(8, -1, -19)$ से गुजरने वाली और $\frac{x}{-3} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-2}{12}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-8}{-3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z+19}{12} = k$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $B(8-3k, -1+4k, -19+12k)$ है।यदि $B$,समतल $7x + 9y - 10z - 27 = 0$ पर स्थित है,तो $7(8-3k) + 9(-1+4k) - 10(-19+12k) - 27 = 0$.$56 - 21k - 9 + 36k + 190 - 120k - 27 = 0 \implies -105k + 210 = 0 \implies k = 2$.दूरी $AB$,$k=2$ पर सदिश $\vec{AB} = (-3k, 4k, 12k)$ का परिमाण है,जो $\sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ है।

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