જો G.P. (ગુણોત્તર શ્રેણી) ના n પદોનો સરવાળો S | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે ......$(i)$ગુણાકાર $P = a \cdot (a

Vedclass · Accepted Answer

${\left( {\frac{S}{R}} \right)^n}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે ......$(i)$ગુણાકાર $P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \dots (ar^{n-1}) = a^n r^{0+1+2+\dots+(n-1)} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ છે.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ મળે ......(ii)વ્યસ્તનો સરવાળો $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}$ છે.આ એક $G.P.$ છે જેનું પ્રથમ પદ $\frac{1}{a}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{r}$ છે.$R = \frac{\frac{1}{a}(1 - (\frac{1}{r})^n)}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{\frac{1}{a}(\frac{r^n - 1}{r^n})}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1}(r - 1)} = \frac{1 - r^n}{a r^{n-1}(1 - r)}$ ......(iii)હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \cdot \frac{a r^{n-1}(1 - r)}{1 - r^n} = a^2 r^{n-1}$ થાય.તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$ થાય.સમીકરણ (ii) સાથે સરખાવતા,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ મળે છે.

જો $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) ના $n$ પદોનો સરવાળો $S$ હોય,ગુણાકાર $P$ હોય અને તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $R$ હોય,તો ${P^2}$ કોના બરાબર થાય?

Similar Questions

નીચેની શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ શોધો:
$1, 7, 17, 31, 49, \ldots$

સરવાળો $\sum_{k=1}^{20}(1+2+3+\ldots+k)$ કેટલો થાય?

વિધાન $-1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.
વિધાન $-2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

$2.\overline{357} = $

જો એક $A.P.$ ના $5$ મા અને $12$ મા પદ અનુક્રમે $30$ અને $65$ હોય,તો પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module