यदि left(frac{1}{x^3} - x^4right)^n, x neq 0 | vedclass

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Question

(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ है।$x^7$ के गुणांक क

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$21$

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(B) $(x^{-3} - x^4)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{-3})^{n-r} (-x^4)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^{7r-3n}$ है।$x^7$ के गुणांक के लिए, $7r_1 - 3n = 7 \implies r_1 = \frac{3n+7}{7} = \frac{3n}{7} + 1$। चूंकि $r_1$ एक पूर्णांक होना चाहिए, $n$ को $7$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $n = 7k$।$x^{14}$ के गुणांक के लिए, $7r_2 - 3n = 14 \implies r_2 = \frac{3n+14}{7} = \frac{3n}{7} + 2$।गुणांकों का योग $\binom{n}{r_1}(-1)^{r_1} + \binom{n}{r_2}(-1)^{r_2} = 0$ है।$r_1$ और $r_2$ को प्रतिस्थापित करने पर: $\binom{n}{r_1}(-1)^{r_1} + \binom{n}{r_1+1}(-1)^{r_1+1} = 0$।यह $\binom{n}{r_1} - \binom{n}{r_1+1} = 0$ में सरल होता है, अतः $\binom{n}{r_1} = \binom{n}{r_1+1}$।$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ का उपयोग करते हुए, $r_1 + r_1 + 1 = n \implies 2r_1 + 1 = n$।$r_1 = \frac{3n}{7} + 1$ रखने पर: $2(\frac{3n}{7} + 1) + 1 = n \implies \frac{6n}{7} + 3 = n \implies 3 = \frac{n}{7} \implies n = 21$।

यदि $\left(\frac{1}{x^3} - x^4\right)^n, x \neq 0$ के विस्तार में $x^7$ और $x^{14}$ के गुणांकों का योग शून्य है, तो $n$ का मान . . . . . . है।

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