यदि श्रेणी frac{1}{1+1^4 cdot 4} + frac{2}{1+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$

Vedclass · Accepted Answer

$276$

Vedclass · Answer

(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर, $T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} ight]$.माना $f(k) = 2k^2-2k+1$. तब $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.अतः, $T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.यहाँ $	ext{gcd}(55, 221) = 1$ है, इसलिए $m=55$ और $n=221$ है।अतः, $m+n = 55+221 = 276$.

Similar Questions

यदि श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot(1+d)} + \frac{1}{(1+d)(1+2d)} + \dots + \frac{1}{(1+9d)(1+10d)}$ का योग $5$ है,तो $50d$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n^2}}$ का योगफल क्या है?

$\sum_{r=1}^{20} (r^{2}+1)(r!)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $m$ और $n$ का महत्तम समापवर्तक $1$ है। यदि $\frac{1}{1 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 19} + \dots$ $20$ पदों तक $= \frac{m}{n}$ है,तो $5m + 2n = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module