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Question

(D) श्रेणी $S = \left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(\frac{20}{5}\right)^2 + \dots$ $10$ पदो

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$101$

Vedclass · Answer

(D) श्रेणी $S = \left(\frac{8}{5}ight)^2 + \left(\frac{12}{5}ight)^2 + \left(\frac{16}{5}ight)^2 + \left(\frac{20}{5}ight)^2 + \dots$ $10$ पदों तक है।इसे $S = \frac{1}{25} \sum_{n=1}^{10} (4(n+1))^2 = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n+1)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $k = n+1$,तो योग $\frac{16}{25} \sum_{k=2}^{11} k^2$ होगा।सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 506$।चूंकि योग $k=2$ से शुरू होता है,$1^2 = 1$ घटाने पर: $506 - 1 = 505$।अतः,$S = \frac{16}{25} 	imes 505 = \frac{16 	imes 101}{5} = \frac{16}{5} 	imes 101$।दिया गया है कि $S = \frac{16}{5}m$,इसलिए $m = 101$।

यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{16}{5}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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