श्रेणी 1^2 + 2 cdot 2^2 + 3^2 + 2 cdot 4^2 + | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ है।जब $n$ सम है,योग $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ है।जब $n$ विषम है,$n$-

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$\frac{1}{2}n^2(n + 1)$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ है।जब $n$ सम है,योग $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ है।जब $n$ विषम है,$n$-वां पद $n^2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = S_{n-1} + a_n$ है।चूंकि $n$ विषम है,$n-1$ सम है। $n-1$ पदों के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.अतः,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.सत्यापन: $n=1$ के लिए,$S_1 = 1^2 = 1$. सूत्र $(b)$ के अनुसार: $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$. जो सही है।

श्रेणी $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 6^2 + \dots$ के प्रथम $n$ पदों का योग जब $n$ सम है,तो $\frac{n(n + 1)^2}{2}$ है। जब $n$ विषम है,तो योग क्या होगा?

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