sumlimits_{r = 1}^n {sumlimits_{m = 1}^r {m} | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{m=1}^r m = \frac{r(r+1)}{2}$ होता है।अतः,दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^n \frac{r(r+1)}{2}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{m=1}^r m = \frac{r(r+1)}{2}$ होता है।अतः,दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^n \frac{r(r+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{r=1}^n (r^2 + r)$ है।मानक योग सूत्रों $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right]$$= \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right]$$= \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

$\sum\limits_{r = 1}^n {\sum\limits_{m = 1}^r {m} } = \dots$

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