यदि रैखिक समीकरणों के निकाय2x + y - z = 3x - | vedclass

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Question

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:$(i) \ 2x + y - z = 3$$(ii) \ x - y - z = \alpha$$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होन

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(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:$(i) \ 2x + y - z = 3$$(ii) \ x - y - z = \alpha$$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।माना गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 3 & 3 & \beta \end{bmatrix}$ है।$|A| = 0$ रखने पर:$2(-\beta + 3) - 1(\beta + 3) - 1(3 + 3) = 0$$-2\beta + 6 - \beta - 3 - 6 = 0$$-3\beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = -1$.$\beta = -1$ को समीकरणों में रखने पर:$2x + y - z = 3$$x - y - z = \alpha$$3x + 3y - z = 3$समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर $x + 2y = 3 - \alpha$ प्राप्त होता है।समीकरण $(iii)$ से,$3(x + y) - z = 3$। $(i) + (ii)$ का उपयोग करने पर,$3x = 3 + \alpha$,अतः $x = 1 + \alpha/3$।संगति के लिए,समीकरणों को एक ही समतल या रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta - \alpha \beta = 3 + (-1) - (3)(-1) = 3 - 1 + 3 = 5$।

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y + \beta z = 3$
के अनंत हल हैं,तो $\alpha + \beta - \alpha \beta$ का मान .... है।

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