જો અતિવલય $x^2-y^2=c^2$ પરના બિંદુ $P(t)$ પર દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને $T$ માં છેદે અને તે જ બિંદુ $P$ પર દોરેલો અભિલંબ $Y$-અક્ષને $N$ માં છેદે,તો $TN$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

અતિવલય $5 x^2-y^2=5$ ને $(2,8)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકો પૈકી એકનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{20} - \frac{3y^2}{4} = 1$ ના સ્પર્શકો,જે રેખા $x + 3y = 7$ ને સમાંતર હોય,તેમની વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ધારો કે એક અતિવલય $H$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિઓ $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $C_1$ એ અતિવલય $H$ ને સ્પર્શતું અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ અતિવલય $H$ ને તેના શિરોબિંદુ પર સ્પર્શતું અને તેની એક નાભિ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ ના ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) અનુક્રમે $36 \pi$ અને $4 \pi$ હોય,તો $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ (એકમમાં) કેટલી થાય?

જો અતિવલય (hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\sqrt{3}$ હોય,તો તેના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જેની નિયામિકા $2x + y = 1$,નાભિકેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ઉત્કેન્દ્રીતા $e = \sqrt{3}$ હોય,તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો: