यदि वक्र x^{2/3} + y^{2/3} = 4 पर बिंदु (alph | vedclass

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Question

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता

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(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$। बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -(\beta/\alpha)^{1/3}$ है। दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $-\sqrt{3}$ है। चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है,$-(\beta/\alpha)^{1/3} = -\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $(\beta/\alpha)^{1/3} = \sqrt{3}$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$\beta/\alpha = 3\sqrt{3}$,इसलिए $\beta = 3\sqrt{3}\alpha$। चूंकि $(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,$\alpha^{2/3} + (3\sqrt{3}\alpha)^{2/3} = 4$। $\alpha^{2/3} + (3^{3/2}\alpha)^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} + 3\alpha^{2/3} = 4$। $4\alpha^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} = 1 \implies \alpha^2 = 1$। तब $\beta^2 = (3\sqrt{3}\alpha)^2 = 27\alpha^2 = 27(1) = 27$। अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 27 = 28$।

यदि वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ पर बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ के समांतर है,तो $\alpha^2 + \beta^2 =$

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