यदि $\triangle ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ और $C=(3,5,-2)$ हैं,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,किसी वास्तविक $x$ के लिए। तो $|\vec{a} \times \vec{b}| = r$ संभव है यदि

$a$ और $b$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|a|=\sqrt{3}$ और $|b|=\sqrt{2}$ है। यदि $x$ एक इकाई सदिश है जो $x \times a = b$ को संतुष्ट करता है,तो $x$ का मान क्या है?

माना $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
अभिकथन $(A)$ : सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$,$\overrightarrow{a}$ के लिए सत्य है।
तर्क $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,और $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

माना $\overrightarrow{c}$ एक सदिश है जो सदिशों $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$ है,तो $\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ का मान ...... के बराबर है।

यदि $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ तथा $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ है,तो $|\vec{u} \times \vec{v}| = ......$