यदि $4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$, $-\hat{j} + \hat{k}$ और $3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $34$ घन इकाई है, तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $158 \text{ घन इकाई}$ है,जिसकी सह-अंतस्थ कोर (coterminous edges) सदिशों $\bar{a} = (\hat{i} + \hat{j} + n \hat{k})$,$\bar{b} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} - n \hat{k})$ और $\bar{c} = (\hat{i} + n \hat{j} + 3 \hat{k})$ द्वारा दी गई हैं,जहाँ $n \geq 0$,तो $n$ का मान क्या है?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ कोई भी तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं और सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ हैं,तो $[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = ...$

चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष सदिशों $-i + j + k$,$i - j + k$ और $i + j - k$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ चौथा शीर्ष मूल बिंदु है।

माना $\vec{a}=2 \hat{i}+7 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ है। माना $\vec{d}$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,और $\vec{c} \cdot \vec{d}=12$ है। तो $(-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})$ का मान $........$ है।

एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसका किनारे $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, और $\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं, का आयतन $\frac{2}{3}$ घन इकाई है। तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।