एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसका किनारे $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, और $\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं, का आयतन $\frac{2}{3}$ घन इकाई है। तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल्यांकन करें: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारों की लंबाई इकाई है और वे असमतलीय इकाई सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ के समानांतर हैं,जहाँ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$ है। तो समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $2i - 3j + 4k$, $i + 2j - k$ और $xi - j + 2k$ समतलीय हैं, तो $x = $

मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ और $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ हैं। मान लीजिए समुच्चय $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{बिंदु } A, B, C \text{ और } D \text{ समतलीय हैं}\}$. तो $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{c}=p\hat{i}+q \hat{j}$ और $\overrightarrow{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$ चार सदिश हैं। यदि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=3=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d}$ है,तो $3 p+q=$