यदि तीन भिन्न संख्याएँ a, b, c एक G.P. में है | vedclass

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Question

(A) चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः

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$\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।

Vedclass · Answer

(A) चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,इस समीकरण का मूल $x = -\frac{b}{a}$ है।चूंकि यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ के लिए भी एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए $x = -\frac{b}{a}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$$a^2$ से गुणा करने पर,$db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।$b^2 = ac$ रखने पर,$dac - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।पूरे समीकरण को $ac$ से विभाजित करने पर,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$ है।यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।

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