જો સદિશો $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$,$\vec{B} = i + j + 5k$ અને $\vec{C}$ ડાબા હાથની સિસ્ટમ (left-handed system) બનાવે,તો $\vec{C}$ શું છે?

શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ માટે,શરત $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ ત્યારે અને તો જ સાચી પડે જો:

જો $\bar{x}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{y}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ અને $\bar{z}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ જ્યાં $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\bar{x} \cdot(\bar{a}+\bar{b})+\bar{y} \cdot(\bar{b}+\bar{c})+\bar{z} \cdot(\bar{c}+\bar{a})$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overline{u}, \overline{v}$ અને $\overline{w}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $(1 - x)\hat i + \hat j + \hat k$,$\hat i + (1 - y)\hat j + \hat k$ અને $\hat i + \hat j + (1 - z)\hat k$ સમતલીય હોય,તો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ ની કિંમત શોધો $(x, y, z \neq 0)$.

જો $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$ હોય,તો એકમ સદિશ $\bar{d}$ શોધો કે જેથી $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ અને $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ થાય.