આકૃતિમાં,$XY$ અને $X'Y'$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળના બે સમાંતર સ્પર્શકો છે અને $C$ સ્પર્શબિંદુ ધરાવતો બીજો સ્પર્શક $AB$ એ $XY$ ને $A$ માં અને $X'Y'$ ને $B$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle AOB = 90^{\circ}$.

(N/A) બિંદુ $O$ ને $C$ સાથે જોડો.
$\triangle OPA$ અને $\triangle OCA$ માં:
$OP = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$AP = AC$ (બિંદુ $A$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે)
$AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle OPA \cong \triangle OCA$.
આથી,$\angle POA = \angle COA$ ... $(i)$
તે જ રીતે,$\triangle OQB$ અને $\triangle OCB$ માં:
$OQ = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$BQ = BC$ (બિંદુ $B$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે)
$OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle OQB \cong \triangle OCB$.
આથી,$\angle QOB = \angle COB$ ... $(ii)$
$POQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,તે એક સીધી રેખા છે,તેથી એક બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય:
$\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^{\circ}$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \angle COA + 2 \angle COB = 180^{\circ}$
$2(\angle COA + \angle COB) = 180^{\circ}$
$\angle COA + \angle COB = 90^{\circ}$
તેથી,$\angle AOB = 90^{\circ}$.