आकृति में,$XY$ और $X'Y'$ $O$ केंद्र वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और $C$ स्पर्श बिंदु वाली एक अन्य स्पर्श रेखा $AB$,$XY$ को $A$ पर और $X'Y'$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।

(N/A) बिंदु $O$ को $C$ से मिलाइए।
$\triangle OPA$ और $\triangle OCA$ में:
$OP = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$AP = AC$ (बाह्य बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle POA = \angle COA$ ... $(i)$
इसी प्रकार,$\triangle OQB$ और $\triangle OCB$ में:
$OQ = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$BQ = BC$ (बाह्य बिंदु $B$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से $\triangle OQB \cong \triangle OCB$ है।
इससे प्राप्त होता है: $\angle QOB = \angle COB$ ... $(ii)$
चूँकि $POQ$ वृत्त का व्यास है,यह एक सीधी रेखा है,इसलिए एक ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^{\circ}$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$2 \angle COA + 2 \angle COB = 180^{\circ}$
$2(\angle COA + \angle COB) = 180^{\circ}$
$\angle COA + \angle COB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle AOB = 90^{\circ}$ है।