આકૃતિમાં,$O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો $AB$ અને $CD$ બિંદુ $E$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે બિંદુઓ $O, E, O^{\prime}$ સમરેખ છે.

(N/A) $AO, OC$ અને $O^{\prime}D, O^{\prime}B$ ને જોડો.
$\triangle E O^{\prime} D$ અને $\triangle E O^{\prime} B$ માં:
$O^{\prime} D = O^{\prime} B$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime} E = O^{\prime} E$ (સામાન્ય બાજુ)
$ED = EB$ (બહારના બિંદુ $E$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે)
તેથી,$\triangle E O^{\prime} D \cong \triangle E O^{\prime} B$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આનો અર્થ એ છે કે $\angle O^{\prime} E D = \angle O^{\prime} E B$,તેથી $O^{\prime} E$ એ $\angle DEB$ નો દ્વિભાજક છે.
તે જ રીતે,$\triangle EOA$ અને $\triangle EOC$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $\triangle EOA \cong \triangle EOC$,જેનો અર્થ છે કે $\angle OEA = \angle OEC$,તેથી $OE$ એ $\angle AEC$ નો દ્વિભાજક છે.
$AB$ અને $CD$ એ બિંદુ $E$ માં છેદતી સીધી રેખાઓ હોવાથી,$\angle AEC$ અને $\angle DEB$ અભિકોણો છે,તેથી $\angle AEC = \angle DEB$.
$OE$ એ $\angle AEC$ નો દ્વિભાજક છે અને $O^{\prime}E$ એ $\angle DEB$ નો દ્વિભાજક છે,અને $\angle AEC = \angle DEB$ હોવાથી,$\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ થાય છે.
$C, E, B$ એક સીધી રેખા પર હોવાથી,$\angle OEC + \angle OEO^{\prime} + \angle O^{\prime}EB = 180^{\circ}$.
$\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ મૂકતા,આપણને $2\angle O^{\prime}EB + \angle OEO^{\prime} = 180^{\circ}$ મળે છે.
જોકે,$O, E, O^{\prime}$ એક સીધી રેખા બનાવે છે,તેથી $\angle OEO^{\prime}$ ખૂણો $180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આમ,$O, E, O^{\prime}$ સમરેખ છે.