$\triangle ABC$ માં,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $P$ એ $BC$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે. જો $CQ \parallel PD$ એ $AB$ ને $Q$ માં મળે,તો સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.

(A) $\triangle ABC$ માં $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $P$ એ $BC$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે. આપેલ છે કે $CQ \parallel PD$ એ $AB$ ને $Q$ માં મળે છે,આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
$CD$ ને જોડો. ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad \dots(1)$
એક જ પાયા પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) \quad \dots(2)$
[$\because$ ત્રિકોણ $DPQ$ અને $DPC$ એક જ પાયા $DP$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $DP$ અને $CQ$ ની વચ્ચે આવેલા છે]
સમીકરણ $(2)$ ની બંને બાજુએ $\operatorname{ar}(\triangle DPB)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) + \operatorname{ar}(\triangle DPB) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) + \operatorname{ar}(\triangle DPB)$
$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \operatorname{ar}(\triangle BCD)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.