$\triangle ABC$ में,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $P$,$BC$ पर स्थित कोई बिंदु है। यदि $CQ \parallel PD$,$AB$ को $Q$ पर मिलता है,तो सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।

(A) $\triangle ABC$ में $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $P$,$BC$ पर स्थित कोई बिंदु है। दिया है कि $CQ \parallel PD$,$AB$ को $Q$ पर मिलता है,हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।
$CD$ को मिलाइए। चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad \dots(1)$
चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) \quad \dots(2)$
[$\because$ त्रिभुज $DPQ$ और $DPC$ एक ही आधार $DP$ पर और समांतर रेखाओं $DP$ और $CQ$ के बीच स्थित हैं]
समीकरण $(2)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\triangle DPB)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) + \operatorname{ar}(\triangle DPB) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) + \operatorname{ar}(\triangle DPB)$
$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \operatorname{ar}(\triangle BCD)$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।