આકૃતિમાં,$l \parallel m$ છે અને રેખાખંડો $AB, CD$ અને $EF$ બિંદુ $P$ માં સંગામી છે. સાબિત કરો કે $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$.

(N/A) આપેલ છે કે $l \parallel m$ અને રેખાખંડો $AB, CD$ અને $EF$ બિંદુ $P$ માં સંગામી છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$.
સાબિતી:
$\triangle APC$ અને $\triangle BPD$ માં,
$\angle APC = \angle BPD$ [અભિકોણો]
$\angle PAC = \angle PBD$ [યુગ્મકોણો,કારણ કે $l \parallel m$]
તેથી,$\triangle APC \sim \triangle BPD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{PC}{PD}$ ......$(i)$
$\triangle APE$ અને $\triangle BPF$ માં,
$\angle APE = \angle BPF$ [અભિકોણો]
$\angle PAE = \angle PBF$ [યુગ્મકોણો]
તેથી,$\triangle APE \sim \triangle BPF$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF}$ ......$(ii)$
$\triangle PEC$ અને $\triangle PFD$ માં,
$\angle EPC = \angle FPD$ [અભિકોણો]
$\angle PCE = \angle PDF$ [યુગ્મકોણો]
તેથી,$\triangle PEC \sim \triangle PFD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{PE}{PF} = \frac{PC}{PD} = \frac{CE}{FD}$ ......$(iii)$
સમીકરણ $(i), (ii)$ અને $(iii)$ પરથી,
$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{FD}$
આમ,$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$. જે સાબિત થાય છે.