आकृति में,$l \parallel m$ है और रेखाखंड $AB, CD$ और $EF$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$।

(N/A) दिया है कि $l \parallel m$ और रेखाखंड $AB, CD$ और $EF$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$।
उपपत्ति:
$\triangle APC$ और $\triangle BPD$ में,
$\angle APC = \angle BPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAC = \angle PBD$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $l \parallel m$]
अतः,$\triangle APC \sim \triangle BPD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{PC}{PD}$ ......$(i)$
$\triangle APE$ और $\triangle BPF$ में,
$\angle APE = \angle BPF$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAE = \angle PBF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle APE \sim \triangle BPF$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF}$ ......$(ii)$
$\triangle PEC$ और $\triangle PFD$ में,
$\angle EPC = \angle FPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PCE = \angle PDF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle PEC \sim \triangle PFD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{PE}{PF} = \frac{PC}{PD} = \frac{CE}{FD}$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,
$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{FD}$
अतः,$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$। इति सिद्धम्।