$\Delta ABC$ માં,$A-N-B$,$A-M-C$ અને $B-X-C$ છે. $\overline{XM} \parallel \overline{AB}$ અને $\overline{XN} \parallel \overline{AC}$ છે. $\overline{MN}$ એ $\overline{CB}$ ને $T$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $TX^2 = TB \times TC$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$XM \parallel AB$ અને $XN \parallel AC$ છે. $\overline{MN}$ એ $BC$ ને $T$ માં છેદે છે.
પગલું $1$: $XM \parallel AB$ હોવાથી,$\Delta ABC$ માં પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{CX}{XB} = \frac{CM}{MA}$ મળે.
પગલું $2$: $XN \parallel AC$ હોવાથી,$\Delta ABC$ માં $BPT$ મુજબ,$\frac{BX}{XC} = \frac{BN}{NA}$ મળે.
પગલું $3$: $\Delta ABC$ માં,$XM \parallel AB$ અને $XN \parallel AC$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ANXM$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$XM = AN$ અને $XN = AM$.
પગલું $4$: $\Delta TXN$ અને $\Delta TBM$ ને ધ્યાનમાં લેતા,સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{TX}{TB} = \frac{TC}{TX}$ મળે છે.
પગલું $5$: ચોકડી ગુણાકાર કરતા $TX^2 = TB \times TC$ મળે છે. આમ,સાબિત થાય છે.