$\Delta ABC$ માં,$\angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો $\overline{AC}$ અને $\overline{AB}$ ને અનુક્રમે $D$ અને $E$ માં છેદે છે. જો $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\Delta ABC$ સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\overline{BD}$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle EBD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B$.
$\overline{CE}$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle DCE = \angle ECB = \frac{1}{2} \angle C$.
કારણ કે $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,યુગ્મકોણની જોડ સમાન હોવાથી,$\angle EDB = \angle DBC$.
આમ,$\angle EDB = \angle EBD$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta EBD$ સમদ্বિબાજુ છે અને $EB = ED$.
તે જ રીતે,$\angle DEC = \angle ECB$,તેથી $\angle DEC = \angle DCE$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta DCE$ સમদ্বિબાજુ છે અને $DC = ED$.
તેથી,$EB = DC$.
$\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC}$.
$EB = DC$ હોવાથી,આપણને $AE = AD$ મળે છે.
બંને બાજુ $EB$ ઉમેરતા: $AE + EB = AD + DC$,જે $AB = AC$ આપે છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta ABC$ એ સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ છે.