$\Delta ABC$ में,$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $\overline{AC}$ और $\overline{AB}$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\overline{BD}$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B$.
$\overline{CE}$,$\angle C$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle DCE = \angle ECB = \frac{1}{2} \angle C$.
चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,एकांतर अंतःकोणों के कारण,$\angle EDB = \angle DBC$.
अतः,$\angle EDB = \angle EBD$,जिसका अर्थ है कि $\Delta EBD$ समद्विबाहु है और $EB = ED$.
इसी प्रकार,$\angle DEC = \angle ECB$,इसलिए $\angle DEC = \angle DCE$,जिसका अर्थ है कि $\Delta DCE$ समद्विबाहु है और $DC = ED$.
इसलिए,$EB = DC$.
$\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC}$.
चूँकि $EB = DC$,हमें $AE = AD$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $EB$ जोड़ने पर: $AE + EB = AD + DC$,जिससे $AB = AC$ प्राप्त होता है।
चूँकि दो भुजाएँ बराबर हैं,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।