$\Delta ABC$ में,$B-D-C$ है। $\angle ADB$ और $\angle ADC$ के समद्विभाजक $\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $AP \times AQ \times BD \times DC = AD^2 \times PB \times QC$। इससे सिद्ध कीजिए कि यदि $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ है,तो $D$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है।

(N/A) $1$. $\Delta ADB$ में,$DP$,$\angle ADB$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$,जिसका अर्थ है $AP = \frac{AD \times PB}{BD}$।
$2$. $\Delta ADC$ में,$DQ$,$\angle ADC$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$,जिसका अर्थ है $AQ = \frac{AD \times QC}{DC}$।
$3$. इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $AP \times AQ = \frac{AD \times PB}{BD} \times \frac{AD \times QC}{DC} = \frac{AD^2 \times PB \times QC}{BD \times DC}$।
$4$. पुनर्व्यवस्थित करने पर $AP \times AQ \times BD \times DC = AD^2 \times PB \times QC$ प्राप्त होता है।
$5$. यदि $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ है,तो $\Delta ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ होगा।
$6$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$ और $\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$ है।
$7$. अतः,$\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{DC}$,जिसका अर्थ है $BD = DC$। इस प्रकार,$D$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है।