$\Delta ABC$ में,$\overline{AC}$ कर्ण है और $\overline{BE}$ माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ (क्योंकि $\overline{AC}$ कर्ण है),और $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
चूंकि $\overline{BE}$ माध्यिका है,$E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AE = EC = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 2AE$.
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
हमें सिद्ध करना है: $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.
व्यंजक में $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}$.
चूंकि $AC = 2AE$,इसे व्यंजक में रखने पर:
$2(2AE)^{2} = 2(4AE^{2}) = 8AE^{2}$.
इस प्रकार,$AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$ सिद्ध होता है।