$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{BC^2}$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે લખી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (બાજુઓને પાયો અને વેધ ગણતા)
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (કર્ણને પાયો અને વેધ ગણતા)
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$.
$\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2$ ની કિંમત મૂકતા: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$.
$BM^2$ ને કર્તા બનાવતા: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$.